Question

18．已知函數(shù)y=sinx+cosx，y=2$\sqrt{2}$sinxcosx，則下列結(jié)論中，正確的序號是③⑤
①兩函數(shù)的圖象均關(guān)于點（-$\frac{π}{4}$，0）成中心對稱；  
②兩函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$成軸對稱；
③兩函數(shù)在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上都是單調(diào)增函數(shù)； 
 ④兩函數(shù)的最小正周期相同； 
 ⑤兩函數(shù)的最大值相同．

Answer 1

分析 將兩個函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性，單調(diào)性，周期性，最值性分別進行判斷即可．

解答 解：y=f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），y=g（x）=$\sqrt{2}$sin2x
①f（-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin0=0，則f（x）關(guān)于點（-$\frac{π}{4}$，0）成中心對稱
y=g（-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin[2×（-$\frac{π}{4}$）]=$\sqrt{2}$sin（-$\frac{π}{2}$）=-$\sqrt{2}$≠0，則g（x）關(guān)于點（-$\frac{π}{4}$，0）不對稱，
故兩函數(shù)的圖象均關(guān)于點（-$\frac{π}{4}$，0）成中心對稱錯誤；故①錯誤，
②由①知f（x）關(guān)于點（-$\frac{π}{4}$，0）成中心對稱，g（x）關(guān)于點x=-$\frac{π}{4}$對稱，
故兩函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x=-$\frac{π}{4}$成軸對稱錯誤；故②錯誤
③當-$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{π}{4}$，則0＜x+$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2}$，此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當-$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{π}{4}$，則-$\frac{π}{2}$＜2x＜$\frac{π}{2}$，此時函數(shù)g（x）為增函數(shù)，
即兩函數(shù)在區(qū)間（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上都是單調(diào)增函數(shù)正確；故③正確，
 ④函數(shù)f（x）的周期是2π，函數(shù)g（x）的周期是π，兩函數(shù)的最小正周期不相同；故④錯誤，
 ⑤兩函數(shù)的最大值相同，都為$\sqrt{2}$．
故正確的是③⑤，
故答案為：③⑤．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的化簡以及三角函數(shù)的對稱性，單調(diào)性，周期性，最值性，綜合考查三角函數(shù)的性質(zhì)．