Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且對任意n∈N⁺，a${\;}_{n+2}≤{a}_{n}+3•{2}^{n}$，a_n+1≥2a_n+1恒成立，則a_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 由a_n+1≥2a_n+1恒成立，利用放縮法可得a_n≥2ⁿ-1；利用a${\;}_{n+2}≤{a}_{n}+3•{2}^{n}$可得a_n≤2ⁿ-1；從而求得．

解答 解：∵a_n+1≥2a_n+1恒成立，
∴a_n+1+1≥2（a_n+1）恒成立，
∴a_n+1≥2（a_n-1+1）≥4（a_n-2+1）≥…≥2^n-1（a₁+1），
即a_n+1≥2ⁿ，故a_n≥2ⁿ-1；
而a_n+2≥2a_n+1+1≥2（2a_n+1）+1=4a_n+3，
而a${\;}_{n+2}≤{a}_{n}+3•{2}^{n}$，
 故4a_n+3≤a_n+3•2ⁿ，
故a_n≤2ⁿ-1；
故a_n=2ⁿ-1，
故答案為：2ⁿ-1．

點評 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，及與不等式的綜合應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想與整體思想的應(yīng)用，屬于中檔題．