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在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b‘

（1）若D為BC上的點，且
BD
=t
BC
，求證：
AD
=（1-t）
a
+t
b
；
（2）若P，Q是線段BC的三等分點，試證：
AP
+
AQ
=
a
+
b
；
（3）若P，Q，S是線段BC的四等分點，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)
（4）如果A1，A2，A3，…An-1是線段BC的n（n≥3）等分點，你能得到什么結論？并加以證明．（注：1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
）
考點：線段的定比分點,平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應用
分析：（1）畫出圖形，結合圖形，根據向量的加減法運算法則，得出
AD
的向量表示；
（2）當P，Q是線段BC的三等分點時，利用平行四邊形法則，得出
AP
+
AQ
=
AB
+
AC
=
a
+
b
；
（3）當P，Q，S是線段BC的四等分點時，根據向量的合成法則，得出
AB
+
AC
=
AP
+
AS
=2
AQ
，從而得出結論；
（4）當A1，A2，A3，…An-1是線段BC的n（n≥3）等分點時，得出
AA1
+
AA2
+
AA3
+…+
AAn-1
=
n-1
2
（
a
+
b
）；
結合圖形，利用向量的加減運算，證明即可．
解答： 解：（1）△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b‘
，D為BC上的點，且
BD
=t
BC
，
如圖1所示：

∴
AD
=
AB
+
BD
=
AB
+t
BC
=
AB
+t（
AC
-
AB
）=（1-t）
AB
+t
AC
=（1-t）
a
+t
b
；
（2）當P，Q是線段BC的三等分點時，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，連接AD，交BC于O點，
連接PD，QD，如圖2所示：

則
AB
+
AC
=
AD
，
∵OB=OC，BP=CQ=
1
3
BC，
∴OP=OQ，且OA=OD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴
AP
+
AQ
=
AD
=
AB
+
AC
=
a
+
b
；
（3）當P，Q，S是線段BC的四等分點時，如圖3所示：

則Q是BC的中點，
AB
+
AC
=
AP
+
AS
=2
AQ

∴
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
（
AB
+
AC
）=
3
2
（
a
+
b
）
（4）當A1，A2，A3，…An-1是線段BC的n（n≥3）等分點時，
AA1
+
AA2
+
AA3
+…+
AAn-1
=
n-1
2
（
a
+
b
）；如圖所示：
：
證明如下，∵
AA1
=
BA1
-
BA
=
AB
-
A1B
=
AB
-
1
n
CB
，
AA2
=
AB
-
A2B
=
AB
-
2
n
CB
，…，
同理
AAn-1
=
AB
-
n-1
n
CB
，
∴
AA1
+
AA2
+…+
AAn-1
=（n-1）
AB
-（
1
n
+
2
n
+..+
n-1
n
）
CB

=（n-1）
AB
-
n(n-1)
2
•
1
n
CB

=（n-1）
AB
-
n-1
2
（
AB
-
AC
）
=
n-1
2
（
AB
+
AC
）
=
n-1
2
（
a
+
b
）．
點評：本題考查了平面向量的加減運算的幾何意義，也考查了類比推理的應用問題，是綜合性題目．
練習冊系列答案
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冪函數f（x）=xα的圖象經過點（2，4），則f（9）=（　�。�
A、1B、3C、9D、81

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下列雙曲線中，漸近線方程是y=±
3
2
x的是（　�。�
A、
x2
3
-
y2
2
=1
B、
x2
4
-
y2
9
=1
C、
y2
3
-
x2
2
=1
D、
y2
4
-
x2
9
=1

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某班級2014年元旦迎新有獎活動中有一節(jié)目，投擲一個各面分別有數字1，2，3，4，且質地均勻的小正四面體，記其底面的數字為投擲的點數，規(guī)定：參與者連續(xù)投擲三次，投出的點數全部一樣，或只含有1、3，或只含有2、4，則獲獎，如“4，4，4”，“1，1，3”，“2，2，4”等情形獲獎，每人僅限參與節(jié)目一次．
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3
4
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π
2
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3
，求邊長a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
sin(2x-
π
6
)，若f（
α
2
）=
3
4
（
π
6
＜α＜
2π
3
），求cos（α+
3π
2
）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC的三條邊長分別為8，10，15，則該三角形為（　　）
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C、銳角三角形D、不能確定

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5
2
；命題q：?x∈R，都有x2+2x+3＞0．給出下列結論：
①命題：“p且q”是真命題
②命題“p且（￢q）”是假命題
③命題：“（￢P）或q”是真命題
④命題：“（￢p）或（￢q）”是假命題
其中正確的是（　�。�
A、②④B、②③C、③④D、①②③

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