在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b‘

（1）若D為BC上的點(diǎn)，且
BD
=t
BC
，求證：
AD
=（1-t）
a
+t
b
；
（2）若P，Q是線段BC的三等分點(diǎn)，試證：
AP
+
AQ
=
a
+
b
；
（3）若P，Q，S是線段BC的四等分點(diǎn)，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)
（4）如果A1，A2，A3，…An-1是線段BC的n（n≥3）等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？并加以證明．（注：1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
）
考點(diǎn)：線段的定比分點(diǎn),平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則，得出
AD
的向量表示；
（2）當(dāng)P，Q是線段BC的三等分點(diǎn)時(shí)，利用平行四邊形法則，得出
AP
+
AQ
=
AB
+
AC
=
a
+
b
；
（3）當(dāng)P，Q，S是線段BC的四等分點(diǎn)時(shí)，根據(jù)向量的合成法則，得出
AB
+
AC
=
AP
+
AS
=2
AQ
，從而得出結(jié)論；
（4）當(dāng)A1，A2，A3，…An-1是線段BC的n（n≥3）等分點(diǎn)時(shí)，得出
AA1
+
AA2
+
AA3
+…+
AAn-1
=
n-1
2
（
a
+
b
）；
結(jié)合圖形，利用向量的加減運(yùn)算，證明即可．
解答： 解：（1）△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b‘
，D為BC上的點(diǎn)，且
BD
=t
BC
，
如圖1所示：

∴
AD
=
AB
+
BD
=
AB
+t
BC
=
AB
+t（
AC
-
AB
）=（1-t）
AB
+t
AC
=（1-t）
a
+t
b
；
（2）當(dāng)P，Q是線段BC的三等分點(diǎn)時(shí)，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，連接AD，交BC于O點(diǎn)，
連接PD，QD，如圖2所示：

則
AB
+
AC
=
AD
，
∵OB=OC，BP=CQ=
1
3
BC，
∴OP=OQ，且OA=OD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴
AP
+
AQ
=
AD
=
AB
+
AC
=
a
+
b
；
（3）當(dāng)P，Q，S是線段BC的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖3所示：

則Q是BC的中點(diǎn)，
AB
+
AC
=
AP
+
AS
=2
AQ

∴
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
（
AB
+
AC
）=
3
2
（
a
+
b
）
（4）當(dāng)A1，A2，A3，…An-1是線段BC的n（n≥3）等分點(diǎn)時(shí)，
AA1
+
AA2
+
AA3
+…+
AAn-1
=
n-1
2
（
a
+
b
）；如圖所示：
：
證明如下，∵
AA1
=
BA1
-
BA
=
AB
-
A1B
=
AB
-
1
n
CB
，
AA2
=
AB
-
A2B
=
AB
-
2
n
CB
，…，
同理
AAn-1
=
AB
-
n-1
n
CB
，
∴
AA1
+
AA2
+…+
AAn-1
=（n-1）
AB
-（
1
n
+
2
n
+..+
n-1
n
）
CB

=（n-1）
AB
-
n(n-1)
2
•
1
n
CB

=（n-1）
AB
-
n-1
2
（
AB
-
AC
）
=
n-1
2
（
AB
+
AC
）
=
n-1
2
（
a
+
b
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的加減運(yùn)算的幾何意義，也考查了類比推理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

冪函數(shù)f（x）=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，4），則f（9）=（　　）
A、1B、3C、9D、81

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列雙曲線中，漸近線方程是y=±
3
2
x的是（　�。�
A、
x2
3
-
y2
2
=1
B、
x2
4
-
y2
9
=1
C、
y2
3
-
x2
2
=1
D、
y2
4
-
x2
9
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某班級(jí)2014年元旦迎新有獎(jiǎng)活動(dòng)中有一節(jié)目，投擲一個(gè)各面分別有數(shù)字1，2，3，4，且質(zhì)地均勻的小正四面體，記其底面的數(shù)字為投擲的點(diǎn)數(shù)，規(guī)定：參與者連續(xù)投擲三次，投出的點(diǎn)數(shù)全部一樣，或只含有1、3，或只含有2、4，則獲獎(jiǎng)，如“4，4，4”，“1，1，3”，“2，2，4”等情形獲獎(jiǎng)，每人僅限參與節(jié)目一次．
（1）求參與者甲獲獎(jiǎng)的概率；
（2）獲獎(jiǎng)一次得到獎(jiǎng)金10元，否則得到1元，求參與者甲、乙、丙三人總共獲得的獎(jiǎng)金ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在△ABC中，內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知b2=ac，且cosB=
3
4
，求cosA+cosC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分圖象如圖所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面積為
3
，求邊長(zhǎng)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin(2x-
π
6
)，若f（
α
2
）=
3
4
（
π
6
＜α＜
2π
3
），求cos（α+
3π
2
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為8，10，15，則該三角形為（　�。�
A、鈍角三角形B、直角三角形
C、銳角三角形D、不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：?x∈R，使sinx0=
5
2
；命題q：?x∈R，都有x2+2x+3＞0．給出下列結(jié)論：
①命題：“p且q”是真命題
②命題“p且（￢q）”是假命題
③命題：“（￢P）或q”是真命題
④命題：“（￢p）或（￢q）”是假命題
其中正確的是（　　）
A、②④B、②③C、③④D、①②③

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同步練習(xí)冊(cè)答案