Question

2．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的頂點為A₁，A₂，P為雙曲線上一點，直線PA₁交雙曲線C的一條漸近線于M點，直線A₂M和A₂P的斜率分別為k₁，k₂，若A₂M⊥PA₁且k₁+4k₂=0，則雙曲線C離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，即為$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及直線的斜率公式，化簡整理，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
即為$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由A₁（-a，0），A₂（a，0），A₂M⊥PA₁，
可得PA₁的斜率為$\frac{n}{m+a}$=-$\frac{1}{{k}_{1}}$，
可得PA₂的斜率為$\frac{n}{m-a}$=k₂=-$\frac{1}{4}$k₁，
兩式相乘可得，$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
即有$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即為b=$\frac{1}{2}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用點滿足雙曲線的方程，以及直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．