Question

10．已知函數(shù)f（x）=sinx（cosx-sinx），則下列說(shuō)法正確的為（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
• B． f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)$x=\frac{π}{8}$
• C． 對(duì)稱(chēng)f（x）的最大值為$\sqrt{2}$
• D． 將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，再向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度后會(huì)得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象

Answer 1

分析 利用二倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)y=Asin（ωx+φ）的形式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷下列各項(xiàng)即可．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=sinx（cosx-sinx），
化簡(jiǎn)：f（x）=sinxcosx-sin²x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$，
函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，∴A不對(duì)．
函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z），當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x=$\frac{π}{8}$，∴B對(duì)．
∵sin（2x+$\frac{π}{4}$）的最大值為1，∴函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}$．∴C不對(duì)．
將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$，得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）$-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x-\frac{1}{2}$，再向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-1，顯然不是奇函數(shù)．∴D不對(duì)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力，綜合性強(qiáng)．屬于中檔題．