【題目】已知函數(shù)的圖像經過點,曲線在點處的切線恰好與直線垂直.
(1)求實數(shù)的值;
(2)求在函數(shù)圖像上任意一點處切線的斜率的取值范圍.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:第一問根據(jù)導數(shù)的幾何意義,對函數(shù)求導,求出切線的斜率,根據(jù)兩條直線垂直,斜率互為負倒數(shù),列出方程,再結合函數(shù)圖象過點M,列出方程組,解方程組求出a,b,第二問把a,b的值代入函數(shù)解析式,求出導數(shù),根據(jù)導數(shù)的幾何意義,表示出切線的斜率,利用配方法求出二次函數(shù)的值域,即切線斜率的范圍.
試題解析:
(1)因為y′=f′(x)=3ax2+2bx.
∵f(x)=ax3+bx2的圖象過點M(1,4),
∴a+b=4.
又∵曲線在點M處的切線與直線x+9y=0垂直,
∴f′(1)=9,∴3a+2b=9.
由 得, .
(2)由(1)知y′=f′(x)=3ax2+2bx=3x2+6x
=3(x+1)2-3≥-3.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏。將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級,隨機從中抽取了100名選手進行調查,下面是根據(jù)調查結果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖.
(Ⅰ)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級,根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有95﹪的把握認為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關?
優(yōu)秀 | 合格 | 合計 | |
大學組 | |||
中學組 | |||
合計 |
注: ,其中.
0.10 | 0.05 | 0. 005 | |
2.706 | 3.841 | 7.879 |
(Ⅱ)若江西參賽選手共80人,用頻率估計概率,試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù);
(Ⅲ)如果在優(yōu)秀等級的選手中取4名,在良好等級的選手中取2名,再從這6人中任選3人組成一個比賽團隊,求所選團隊中的有2名選手的等級為優(yōu)秀的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某重點高中擬把學校打造成新型示范高中,為此制定了學生“七不準”,“一日三省十問”等新的規(guī)章制度.新規(guī)章制度實施一段時間后,學校就新規(guī)章制度隨機抽取部分學生進行問卷調查,調查卷共有10個問題,每個問題10分,調查結束后,按分數(shù)分成5組: , , , , ,并作出頻率分布直方圖與樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在, 的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值;
(2)在選取的樣本中,從分數(shù)在70分以下的學生中隨機抽取2名學生進行座談會,求所抽取的2名學生中恰有一人得分在內的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)關于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的值;
(3)關于的方程有兩個實根,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】經國務院批復同意,重慶成功入圍國家中心城市,某校學生社團針對“重慶的發(fā)展環(huán)境”對20名學生進行問卷調查打分(滿分100分),得到如圖所示莖葉圖:
(Ⅰ)計算女生打分的平均分,并用莖葉圖的數(shù)字特征評價男生、女生打分誰更分散;
(Ⅱ)如圖按照打分區(qū)間、、、、繪制的直方圖中,求最高矩形的高;
(Ⅲ)從打分在70分以下(不含70分)的同學中抽取3人,求有女生被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,A,B,C的對邊分別是a,b,c,且2cos2 sinB,a=3c
(Ⅰ)分別求tanC和sin2C的值;
(Ⅱ)若b=1,求△ABC的面積.
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