Question

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．
（1）若A、B、C成等差數(shù)列，求B的值；
（2）若a、b、c成等比數(shù)列，求sinB+

3

cosB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由三角形的內(nèi)角和定理與A、B、C成等差數(shù)列，求出B的值；
（2）由a，b，c成等比數(shù)列，得b²=ac，由余弦定理得出cosB，將b²=ac代入，利用基本不等式變形求出cosB的范圍，從而得出B的取值范圍；把所求的式子化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由B的范圍求出它的取值范圍．

解答：解：（1）△ABC中，∵A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C；
又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
即B的值是

π

3

；
（2）△ABC中，∵a、b、c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
又∵a²+c²≥2ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

ac

=

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
∴0＜B≤

π

3

，
又sinB+

3

cosB=2（

1

2

sinB+

3

2

cosB）=2sin（B+

π

3

），
∴B+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
∴

3

≤2sin（B+

π

3

）≤2，
∴sinB+

3

cosB的取值范圍[

3

，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差與等比數(shù)列以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，是易錯(cuò)題．