Question

16．已知f（x）=lnx-ax+1，其中a為常實(shí)數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求證：f（x）≤0；
（3）當(dāng)n≥2，且n∈N*時(shí)，求證：$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{{2}^{2}}+\frac{ln4}{{2}^{3}}+…+\frac{lnn}{{2}^{n-1}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，從而證明結(jié)論；
（3）根據(jù)lnn＜n-1通過賦值，得到S=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，求出$\frac{1}{2}$S，錯(cuò)位相減證明結(jié)論即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減；
（2）a=1時(shí)，由（1）f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故f（x）_max=f（1）=0，故f（x）≤0；
（3）由（2）得：n≥2且n∈N^*時(shí)，lnn＜n-1，
于是$\frac{ln2}{2}$+$\frac{ln3}{{2}^{2}}$+$\frac{ln4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{lnn}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$，
令S=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$①，
則$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$②，
錯(cuò)位相減得：S=2-$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，則S＜2，
故$\frac{ln2}{2}+\frac{ln3}{{2}^{2}}+\frac{ln4}{{2}^{3}}+…+\frac{lnn}{{2}^{n-1}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．