Question

4．在△ABC中，已知$A（\sqrt{3}，3）$，AB邊上的中線CM所在直線方程為$5\sqrt{3}x+9y-18=0$，∠B的角平分線BT所在直線的方程為y=1．求
（1）求頂點B的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出B（x₀，y₀），根據(jù)題意列方程組求出x₀、y₀即可；
（2）根據(jù)點A關(guān)于角平分線BT的對稱點D在直線BC上，求出直線BC的方程，
計算邊長|BC|和點A到直線BC的距離d，再求△ABC的面積．

解答 解：（1）設(shè)B（x₀，y₀），則AB的中點$M（\frac{{\sqrt{3}+{x_0}}}{2}，\frac{{3+{y_0}}}{2}）$在直線CM上；
所以$5\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}+{x_0}}}{2}+9×\frac{{3+{y_0}}}{2}-18=0$，..①
又點B在直線BT上，即y₀=1；…②
由①②可得x₀=-$\sqrt{3}$，y₀=1，
即B點的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，1）；------（5分）
（2）因為點A（$\sqrt{3}$，3）關(guān)于直線BT的對稱點D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，-1），
而點D在直線BC上，
由題知得，k_BC=k_BD=$\frac{1-（-1）}{-\sqrt{3}-\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
所以直線BC的方程為x+$\sqrt{3}$y=0；
因為直線BC和直線CM交于C點，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{5\sqrt{3}x+9y-18=0}\end{array}\right.$，解得C（3$\sqrt{3}$，-3）；
則|BC|=$\sqrt{{（3\sqrt{3}+\sqrt{3}）}^{2}{+（-3-1）}^{2}}$=8，
A點到直線BC的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}+3\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=2$\sqrt{3}$；
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．------（12分）

點評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了點關(guān)于直線對稱以及距離的計算問題，是綜合題．