Question

14．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{3}$）兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，若其圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）（　　）

• A． 關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，0）對(duì)稱
• B． 關(guān)于點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）對(duì)稱
• C． 關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對(duì)稱
• D． 關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離求出周期T，再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象平移求出φ的值，得出f（x）的解析式，從而判斷出正確的選項(xiàng)．

解答 解：f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{3}$）兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的周期為：T=$\frac{π}{2}$×2=π，
則ω=$\frac{2π}{π}$=2，所以函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），
故函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位時(shí)，得到函數(shù)g（x）=f（x-$\frac{π}{3}$）=sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+φ]=sin（2x+φ-$\frac{2π}{3}$），
函數(shù)g（x）是奇函數(shù)有：φ-$\frac{2π}{3}$=kπ，k∈Z，
又|φ|≤$\frac{π}{3}$，
解得：φ=-$\frac{π}{3}$；
f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
所以f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；
f（$\frac{5π}{12}$）=sin（2×$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤、C正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換問(wèn)題，由題意求得函數(shù)y=sin（ωx+φ）的解析式是關(guān)鍵，屬于中檔題．