Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），其左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若以右焦點(diǎn)F₂（c，0）（c＞0）為圓心作半徑為c的圓與雙曲線的右支的一個(gè)交點(diǎn)為M，且直線F₁M恰好與圓相切，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}+1$．．

Answer 1

分析 由題意可得M在雙曲線的右支上，MF₁⊥MF₂，且|MF₂|=c，|MF₁|=2a+c，F(xiàn)₁F₂=2c，運(yùn)用勾股定理和離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：由題意可得M在雙曲線的右支上，MF₁⊥MF₂，
且|MF₂|=c，|MF₁|=2a+c，F(xiàn)₁F₂=2c，
由勾股定理可得，c²+（2a+c）²=4c²，
化簡可得e²-2e²-2=0，
∵e＞1
∴e=$\sqrt{3}+1$．
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直徑所對(duì)的圓周角為直角，考查離心率的求法，屬于中檔題．