【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.

(1)求證:BD⊥平面AED;
(2)求二面角F﹣BD﹣C的余弦值.

【答案】
(1)證明:因為四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°.所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD,

所以∠CDB=30°,因此,∠ADB=90°,AD⊥BD,

又AE⊥BD且,AE∩AD=A,AE,AD平面AED,

所以BD⊥平面AED;


(2)解法一:由(1)知,AD⊥BD,同理AC⊥BC,

又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF兩兩垂直,以C為坐標原點,分別以CA,CB,CF所在的直線為X軸,Y軸,Z軸建立如圖的空間直角坐標系,

不妨設CB=1,則C(0,0,0),B(0,1,0),D( ,﹣ ,0),F(xiàn)(0,0,1),因此 =( ,﹣ ,0), =(0,﹣1,1)

設平面BDF的一個法向量為 =(x,y,z),則 =0, =0

所以x= y= z,取z=1,則 =( ,1,1),

由于 =(0,0,1)是平面BDC的一個法向量,

則cos< , >= = = ,所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為

解法二:取BD的中點G,連接CG,F(xiàn)G,由于 CB=CD,因此CG⊥BD,又FC⊥平面ABCD,BD平面ABCD,

所以FC⊥BD,由于FC∩CG=C,F(xiàn)C,CG平面FCG.

所以BD⊥平面FCG.故BD⊥FG,所以∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角,

在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°,

因此CG= CB,又CB=CF,

所以GF= = CG,

故cos∠FGC=

所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為


【解析】(1)由題意及圖可得,先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD,再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直;(2)解法一:由(1)知,AD⊥BD,可得出AC⊥BC,結合FC⊥平面ABCD,知CA,CA,CF兩兩垂直,因此可以C為坐標原點,分別以CA,CB,CF所在的直線為X軸,Y軸,Z軸建立如圖的空間直角坐標系,設CB=1,表示出各點的坐標,再求出兩個平面的法向量的坐標,由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可;
解法二:取BD的中點G,連接CG,F(xiàn)G,由于 CB=CD,因此CG⊥BD,又FC⊥平面ABCD,BD平面ABCD,可證明出∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角,再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值.
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定和向量語言表述線面的垂直、平行關系是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想;要證明一條直線和一個平面平行,也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可;設直線的方向向量是,平面內的兩個相交向量分別為,若

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設10≤x1<x2<x3<x4≤104 , x5=105 , 隨機變量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2,隨機變量ξ2取值 、 、 、 的概率也均為0.2,若記Dξ1、Dξ2分別為ξ1、ξ2的方差,則(
A.Dξ1>Dξ2
B.Dξ1=Dξ2
C.Dξ1<Dξ2
D.Dξ1與Dξ2的大小關系與x1、x2、x3、x4的取值有關

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知的圖像過點,且在點處的切線方程為.

1)求的解析式;

2)求函數(shù)的單調區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù),其中,.

1)設,若函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線,求的值;

2)若將的圖象向左平移個單位,或者向右平移個單位得到的圖象都過坐標原點,求所有滿足條件的的值;

3)設,已知函數(shù)在區(qū)間上的所有零點依次為,且,,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1中,已知AB=AA1=2,點QBC的中點.

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)求點到平面AQC1的距離

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術”,利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”,如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出的值為 ( )

(參考數(shù)據(jù):

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)討論的奇偶性,并說明理由;

(2)若對任意實數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若上有最大值9,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)y=x3﹣3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則c=( )
A.﹣2或2
B.﹣9或3
C.﹣1或1
D.﹣3或1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】近年來,霧霾日趨嚴重,霧霾的工作、生活受到了嚴重的影響,如何改善空氣質量已成為當今的熱點問題,某空氣凈化器制造廠,決定投入生產某型號的空氣凈化器,根據(jù)以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律,每生產該型號空氣凈化器(百臺),其總成本為(萬元),其中固定成本為12萬元,并且每生產1百臺的生產成本為10萬元(總成本=固定成本+生產成本),銷售收入(萬元)滿足,假定該產品銷售平衡(即生產的產品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:

(1)求利潤函數(shù)的解析式(利潤=銷售收入-總成本);

(2)工廠生產多少百臺產品時,可使利潤最多?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案