Question

2．已知函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），且f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上有最小值，無(wú)最大值，則ω=$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 由題意利用正弦函數(shù)的圖象特征可得當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值，即ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，由此求得ω的值．

解答 解：f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
由f（$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{π}{3}$），可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$ 對(duì)稱(chēng)，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴ω=4k+$\frac{2}{3}$．
又f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）有最小值無(wú)最大值，故當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值，
故有ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，
∴ω=8k+$\frac{14}{3}$，結(jié)合ω=4k+$\frac{2}{3}$．
∴解得：ω=$\frac{14}{3}$．
故答案為：$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，求得ω•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，還考查理解與運(yùn)算能力，屬于中檔題．