Question

11．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，過(guò)上頂點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交x軸于Q點(diǎn)，且2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$\overrightarrow{0}$，過(guò)A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓恰好與直線x-$\sqrt{3}$y-3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F₂的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，△F₁MN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此事直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)設(shè)F₁（-c，0）、F₂（c，0），利用2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$\overrightarrow{0}$得Q（-3c，0），通過(guò)$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=0可知a=2c，進(jìn)而過(guò)A、Q、F₂三點(diǎn)的圓的圓心為斜邊QF₂的中點(diǎn)（-c，0）、半徑r=2c，利用圓心到直線x-$\sqrt{3}$y-3=0的距離為半徑r可知c=1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、直線l的方程為：x=my+1，利用三角形面積公式化簡(jiǎn)可知${S}_{△{F}_{1}MN}$=|y₁-y₂|，通過(guò)聯(lián)立直線l與橢圓方程后由韋達(dá)定理、換元化簡(jiǎn)可知${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$[其中t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（t≥1）]，進(jìn)而即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知A（0，b），設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$=$\overrightarrow{0}$得：Q（-3c，0），
∴$\overrightarrow{AQ}$=（-3c，-b），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=（c，-b），
由AQ⊥AF₂得：$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=-3c²+b²=0，
∴-3c²+a²-c²=0，即a=2c，
∴過(guò)A、Q、F₂三點(diǎn)的圓的圓心為斜邊QF₂的中點(diǎn)（-c，0）、半徑r=2c，
∵過(guò)A、Q、F₂三點(diǎn)的圓恰好與直線x-$\sqrt{3}$y-3=0相切，
∴圓心到直線x-$\sqrt{3}$y-3=0的距離為半徑r，
即$\frac{|-c-3|}{2}$=2c，解得：c=1，
∴a=2c=2，b=$\sqrt{3}$，
故所求的橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）結(jié)論：△F₁MN的面積存在最大值為3，此時(shí)直線l的方程為x=1．
理由如下：
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題意y₁、y₂異號(hào)，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為：x=my+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
故（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=（-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$）²-4（-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$）
=$\frac{144（{m}^{2}+1）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$，
∴${S}_{△{F}_{1}MN}$=|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（t≥1），則${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
∴當(dāng)t=1時(shí)，${S}_{△{F}_{1}MN}$有最大值3，此時(shí)m=0，
故△F₁MN的面積的最大值為3，此時(shí)直線l的方程為x=1．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．