Question

已知函數(shù)f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1其中m＜0
（1）若f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），求m的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1，m＜0，
f′（x）=mx²-6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）
因?yàn)閒（x）的增區(qū)間是（0，1）
則f′（x）=3mx²-6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集為（0，1）
所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m-6（m+1）+3m+6=0
解得m=-2                                             （4分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀）為y=f（x）（-1≤x≤1）圖象上任意一點(diǎn)
切線斜率K=f′（x）=3m

x

20

-6（m+1）x₀+（3m+6）＞3m，
即3m

x

20

-6（m+1）x₀+6＞0在x₀∈[-1，1]，m＜0）則（g（x₀））_min＞0，
g（x₀）=3m

x

20

-6（m+1）x₀+6的對稱軸為x₀=

m+1

m

=1+

1

m

＜1
①當(dāng)1+

1

m

≤0即-1≤m＜0時(shí)，（g（x₀））_min=g（1）=-3m＞0，∴-1≤m＜0；
②當(dāng)0＜1+

1

m

＜1即m＜-1時(shí)，（g（x₀））_min=g（-1）=9m+12＞0，此時(shí)無解，
綜上所述：m的取值范圍：（-1，0）；