Question

已知橢圓(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(，1)，離心率為．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)P(，0)，若A，B為已知橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，試問(wèn)直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)，若恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

(1) (2) 直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

【解析】

試題分析：(1) 橢圓(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(，1) ,

且有 ，通過(guò)解方程可得從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2) 設(shè)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為

由

另一方面：

通過(guò)以上兩式就不難得到關(guān)于的等式，從而探究直線是否過(guò)定點(diǎn)；

至于直線AB斜率不存在的情況，只需對(duì)上面的定點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

試題解析：

【解析】
(1)由題意得①

因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以②

又③

由①②③解得

所以橢圓方程為. 4分

(2)【解析】
①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為

代入，消去整理得 6分

由得（*）

設(shè)則

所以，

= 8分

得

整理得

從而 且滿(mǎn)足（*）

所以直線的方程為 10分

故直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 2分

②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，若直線為 ，此時(shí)點(diǎn) 、 的坐標(biāo)分別為

、，亦有 12分

綜上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn). 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、向量的數(shù)量積；3、直線與橢圓的位置關(guān)系.