Question

3．若正實(shí)數(shù)m，n滿足mn=1，證明：$\frac{1}{{e}^{m-1}}$+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$＜2（m+n）．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，g（x）=xlnx，利用導(dǎo)數(shù)判斷兩函數(shù)的單調(diào)性，得出兩函數(shù)的極值，從而由$\frac{x}{{e}^{x}}$-xlnx＜$\frac{2}{e}$，故而$\frac{1}{{e}^{m-1}}$-elnm＜$\frac{2}{m}$，$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-elnn＜$\frac{2}{n}$，兩式相加即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，則f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最大值為f（1）=$\frac{1}{e}$，
設(shè)g（x）=xlnx，則g′（x）=lnx+1，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，1）上單調(diào)遞增，
∴g（x）的最小值為g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴f（x）-g（x）＜$\frac{1}{e}$-（-$\frac{1}{e}$）=$\frac{2}{e}$．
即$\frac{x}{{e}^{x}}$-xlnx＜$\frac{2}{e}$，
∴$\frac{m}{{e}^{m}}$-mlnm＜$\frac{2}{e}$，即$\frac{1}{{e}^{m}}$-lnm＜$\frac{2}{em}$，
∴$\frac{1}{{e}^{m-1}}$-elnm＜$\frac{2}{m}$，
同理：$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-elnn＜$\frac{2}{n}$，
兩式相加得：$\frac{1}{{e}^{m-1}}$+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$-e（lnm+lnn）＜2（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=2（$\frac{m+n}{mn}$），
∵mn=1，
∴$\frac{1}{{e}^{m-1}}$+$\frac{1}{{e}^{n-1}}$＜2（m+n）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與不等式的證明，利用不等式構(gòu)造函數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．