Question

13．設f′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導數(shù)，且滿足xf′（x）-2f（x）＞0，若△ABC是銳角三角形，則（　�。�

• A． f（sinA）•sin²B＞f（sinB）•sin²A
• B． f（sinA）•sin²B＜f（sinB）•sin²A
• C． f（cosA）•sin²B＞f（sinB）•cos²A
• D． f（cosA）•sin²B＜f（sinB）•cos²A

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，（x＞0），對h（x）求導分析可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，又由△ABC是銳角三角形，分析可得$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，即有sinA＞cosB或cosA＜sinB，結合h（x）的單調(diào)性以及sinA＞cosB和cosA＜sinB分析答案．

解答 解：設h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，（x＞0）則其導數(shù)h′（x）=$\frac{{x}^{2}f′（x）-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
又由f（x）滿足xf′（x）-2f（x）＞0，
則有h′（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
若△ABC是銳角三角形，則有A+B＞$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，即有sinA＞cosB或cosA＜sinB，
對于sinA＞cosB，
h（sinA）=$\frac{f（sinA）}{si{n}^{2}A}$，h（cosB）=$\frac{f（cosB）}{co{s}^{2}B}$，
又由sinA＞cosB，則有$\frac{f（sinA）}{si{n}^{2}A}$＞$\frac{f（cosB）}{co{s}^{2}B}$，即f（sinA）•cos²B＞f（cosA）•sin²B，可以排除A、B，
對于cosA＜sinB，
h（cosA）=$\frac{f（cosA）}{co{s}^{2}A}$，h（sinB）=$\frac{f（sinB）}{si{n}^{2}B}$，
又由cosA＜sinB，則有$\frac{f（cosA）}{co{s}^{2}A}$＜$\frac{f（sinB）}{si{n}^{2}B}$，即f（cosA）•sin²B＜f（sinB）•cos²A，可得D正確，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系，關鍵是構造函數(shù)h（x）并分析其單調(diào)性．