Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N₊），b_n=a_n（a_n+1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）設(shè)T_n=

2n

Sn

，證明：T₁+T₂+T₃+…+T_n＜n（n≥2）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論進一步求出通項公式，在求數(shù)列的和．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，再對關(guān)系式進行變換，最后求得結(jié)果．

解答： 解：（1）a_n+1=-2a_n+1
所以：a_n+1+1=2（a_n+1）
即：

an+1+1

an+1

=2
由于：a₁+1=2
所以：數(shù)列{a_n+1}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列．
an+1=2•2n-1
an=2n-1           
（2）b_n=a_n•（a_n+1）
由（1）知：bn=4n-2n
Sn=

4(1-4n)

1-4

-

2(1-2n)

1-2

=

4n+1

3

-2n+1+

2

3

（3）由（2）知：Tn=

2n

Sn

=

3

2n+2+ 1 2n-1 -6

設(shè)cn=2n+2+

2

2n

所以：cn+1-cn=2n+2-2-n
c_n+1＞c_n
T_n+1＜T_n

3

2n+2+ 1 2n-1 -6

≤1（當(dāng)且僅當(dāng)n=1時等號成立）
所以：T₁+T₂+…+T_n＜n（n≥2）

點評：本題考查的知識要點：用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的和．?dāng)?shù)列的通項的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．