Question

7．如圖，已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F(xiàn)是其左焦點(diǎn)，A、B在橢圓上，滿足FA∥OB且|FA|：|OB|=3：2，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)出A的坐標(biāo)，由題意方程求得F的坐標(biāo)及橢圓的離心率，由焦半徑公式求得|AF|，求出AF的斜率，得到OB的方程，聯(lián)立OB方程與橢圓方程，求出B的坐標(biāo)，得到|OB|，結(jié)合|FA|：|OB|=3：2列式求得答案．

解答 解：設(shè)A（x₀，y₀），
∵A（x₀，y₀）在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
由橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1得，a²=2，b²=1，
∴c²=a²-b²=2-1=1，則c=1，
∴F（-1，0），e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則|AF|=$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}$，
又${k}_{AF}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，且FA∥OB，∴${k}_{OB}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
∴OB所在直線方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}x$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{2（{x}_{0}+1）^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}}}\\{{y}^{2}=\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{2（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}+3}}\\{{y}^{2}=\frac{2-{{x}_{0}}^{2}}{2{x}_{0}+3}}\end{array}\right.$，
則|OB|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{2（{x}_{0}+1）^{2}}{2{x}_{0}+3}+\frac{2-{{x}_{0}}^{2}}{2{x}_{0}+3}}$=$\sqrt{\frac{（{x}_{0}+2）^{2}}{2{x}_{0}+3}}$，
由|FA|：|OB|=3：2，
得$\frac{\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{0}}{\sqrt{\frac{（{x}_{0}+2）^{2}}{2{x}_{0}+3}}}=\frac{3}{2}$，解得：${x}_{0}=\frac{3}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓焦半徑公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，是中檔題．