Question

19．函數(shù)f（x）=$\frac{sinxcosx}{1+sinx+cosx}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由分母不為零求出sinx+cosx≠-1，再設t=sinx+cosx，利用兩角和的正弦公式化簡，求出t的范圍，由平方關系表示出sinxcosx，代入解析式化簡，再由t的范圍和一次函數(shù)的單調性，求出原函數(shù)的最值．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{sinxcosx}{1+sinx+cosx}$=$\frac{{t}^{2}-1}{2+2t}$=$\frac{t-1}{2}$，
故當t=$\sqrt{2}$時，f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點評 本題主要考查了“sinx+cosx”和“sinxcosx”的關系，利用平方關系建立關系式，以及換元法求函數(shù)的最值問題，注意換元后需要求出未知數(shù)的范圍，屬于中檔題．