Question

在復平面內(nèi)，O是原點，向量

OA

對應(yīng)的復數(shù)是z₁，z₁=2+i．
（Ⅰ）如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，求向量

AB

對應(yīng)的復數(shù)z₂和|z₁•z₂|；
（Ⅱ）復數(shù)z₃=

2

+

3

i，z4=

3

-

2

i，z₃，z₄對應(yīng)的點C，D．試判斷A、B、C、D四點是否在同一個圓上？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：（I）點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，A（2，1），可得B（2，-1）利用向量的坐標運算可得

AB

，z₂=-2i．利用復數(shù)的乘法運算法則可得z₁•z₂，利用模的計算公式即可得出．
（II）由于

OA

=（2，1），可得|

OA

|=

22+12

=

5

．同理可得|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=

5

，即可判斷出．

解答： 解：（I）∵點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，A（2，1），∴B（2，-1）
∴

AB

=（0，-2），∴z₂=-2i．
∴z₁•z₂=（2+i）•（-2i）=2-4i，
∴|z₁•z₂|=

22+(-4)2

=2

5

；
（II）∵

OA

=（2，1），
∴|

OA

|=

22+12

=

5

．同理可得|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=

5

，
∴A、B、C、D四點到原點O的距離相等，
∴A、B、C、D四點是在以原點為圓心、

5

為半徑的同一個圓上．

點評：本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義、模的計算公式、向量的坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．