Question

20．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意x、y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（4）解不等式f（2a²）+f（5a-2）＞0．

Answer 1

分析 （1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷其奇偶性；
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷其符號即可證得f（x）為R上的增函數(shù)；
（4）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）取x=y=0得，則f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
證明：已知函數(shù)的定義域為R，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；                        
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
（4）f（2a²）+f（5a-2）＞0．
即f（2a²）＞-f（5a-2）=f（-5a+2），
∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
∴2a²＞-5a+2，
即2a²+5a-2＞0，
解得a＞$\frac{-5+\sqrt{41}}{4}$或a＜$\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用賦值法以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．