【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)x>1時,g(x)>0;
(3)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.

【答案】
(1)

解:由f(x)=ax2﹣a﹣lnx,得f′(x)=2ax﹣ = (x>0),

當(dāng)a≤0時,f′(x)<0在(0,+∞)成立,則f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù);

當(dāng)a>0時,由f′(x)=0,得x= = ,

∴當(dāng)x∈(0, )時,f′(x)<0,當(dāng)x∈( ,+∞)時,f′(x)>0,

則f(x)在(0, )上為減函數(shù),在( ,+∞)上為增函數(shù);

綜上,當(dāng)a≤0時,f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù),當(dāng)a>0時,f(x)在(0, )上為減函數(shù),在( ,+∞)上為增函數(shù);


(2)

證明:要證g(x)>0(x>1),即 >0,

即證 ,也就是證 ,

令h(x)= ,則h′(x)= ,

∴h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則h(x)min=h(1)=e,

即當(dāng)x>1時,h(x)>e,∴當(dāng)x>1時,g(x)>0;


(3)

解:由f(x)>g(x),得

設(shè)t(x)= ,

由題意知,t(x)>0在(1,+∞)內(nèi)恒成立,

∵t(1)=0,

∴有t′(x)=2ax = ≥0在(1,+∞)內(nèi)恒成立,

令φ(x)= ,

則φ′(x)= = ,

當(dāng)x≥2時,φ′(x)>0,

令h(x)= ,h′(x)= ,函數(shù)在[1,2)上單調(diào)遞增,∴h(x)min=h(1)=﹣1.

又2a≥1,e1x>0,∴1<x<2,φ′(x)>0,

綜上所述,x>1,φ′(x)>0,φ(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,

∴t′(x)>t′(1)≥0,即t(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,

∴a≥


【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),分類討論,即可討論f(x)的單調(diào)性;
(2)要證g(x)>0(x>1),即 >0,即證 ,也就是證 ;
(3)由f(x)>g(x),得 ,設(shè)t(x)= ,由題意知,t(x)>0在(1,+∞)內(nèi)恒成立,再構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù),即可確定a的取值范圍;
本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,不等式的證明,考查恒成立成立問題,正確構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識,掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,以及對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解,了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

廣告費(fèi)用x(萬元)

4

2

3

5

銷售額y(萬元)

49

26

39

54

(1)求根據(jù)上表可得線性回歸方程=x+;

(2) 模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為多少

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【題目】關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(x﹣)sin(x+),有下列命題:
①此函數(shù)可以化為f(x)=﹣sin(2x+);
②函數(shù)f(x)的最小正周期是π,其圖象的一個對稱中心是( , 0);
③函數(shù)f(x)的最小值為﹣ , 其圖象的一條對稱軸是x=;
④函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)是偶函數(shù);
⑤函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣ , 0)上是減函數(shù).
其中所有正確的命題的序號個數(shù)是( 。
A.2
B.3
C.4
D.5

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【題目】將函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的一半,再將圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù)y=sinx的圖象.
(1)直接寫出f(x)的表達(dá)式,并求出f(x)在[0,π]上的值域;
(2)求出f(x)在[0,π]上的單調(diào)區(qū)間.

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1)求成績在的頻率,并補(bǔ)全此頻率分布直方圖;

2)求這次考試平均分的估計(jì)值;

3)若從成績在的學(xué)生中任選兩人,求他們的成績在同一分組區(qū)間的概率.

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A.2
B.4
C.6
D.8

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