Question

△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，則sinB+sinC的最大值為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、

  1

  2

• D、

  2

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化簡，整理得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出關(guān)系式代入求出cosA的值，進而確定出A的度數(shù)，得到B+C的度數(shù)，用C表示出B，代入原式中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出sinB+sinC的最大值即可．

解答： 解：把2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，利用正弦定理化簡得：2a²=b（2b+c）+c（2c+b），
整理得：b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∴A=120°，即B+C=60°，
∴C=60°-B，
∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB=

1

2

sinB+

3

2

cosB=sin（B+60°），
∵0＜B＜60°，∴60°＜B+60°＜120°，
∴

3

2

＜sin（B+60°）≤1，即

3

2

＜sinB+sinC≤1，
則sinB+sinC的最大值為1，
故選：B．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．