Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=

1

e

．
∵當(dāng)x∈（0，

1

e

）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（

1

e

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=

1

e

時(shí)，f（x）_min=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F(xiàn)′（x）=

2ax2+1

x

（x＞0）．
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，

- 1 2a

）上單調(diào)遞增，在（

- 1 2a

，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．