Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB是直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E、F分別為PC、CD的中點．
（Ⅰ）試證：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若V_C-BEF=1，求PA的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證AB⊥平面BEF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB與平面BEF內(nèi)兩相交直線垂直，而AB⊥BF．根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知AB⊥EF，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）利用體積公式，結(jié)合V_C-BEF=1，求PA的長．

解答 （Ⅰ）證明：由已知DF∥AB且∠DAB為直角，
故ABFD是矩形，從而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因為AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF．
（Ⅱ）因為V_C-BEF=1，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{1}{2}PA$=1，
所以PA=6．

點評 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、三棱錐體積的計算等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．