Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0），其中點(diǎn)P在x軸上的射影為點(diǎn)N，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，求△PQN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題得 $\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$且b=1，∴a²=4，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=．
（Ⅱ）依題得，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），N（x₀，0），由面積公式求得，再利用均值不等式得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）解：依題得 $\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$且b=1，∴a²=4，…（4分）
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）依題得，P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），N（x₀，0），…（6分）
又因?yàn)?{S_{△PQN}}={S_{△PON}}+{S_{△ONQ}}=\frac{1}{2}|{ON}||{{y_p}-{y_Q}}|=|{{x_0}{y_0}}|$…（9分）
又∵$1=\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2≥2\sqrt{\frac{{{x_0}^2}}{4}•{y_0}^2}=|{{x_0}•{y_0}}|$…（12分）
即|x₀•y₀|≤1當(dāng)且僅當(dāng)$|{x_0}|=\sqrt{2}$，$|{y_0}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)等號(hào)成立∴△PQN的面積最大值為1…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓中得三角形面積最值問(wèn)題，屬于常考題型，中檔題型．