Question

17．如圖，某廣場(chǎng)為一半徑為80米的半圓形區(qū)域，現(xiàn)準(zhǔn)備在其一扇形區(qū)域OAB內(nèi)建兩個(gè)圓形花壇，該扇形的圓心角為變量2θ（0＜2θ＜π），其中半徑較大的花壇⊙P內(nèi)切于該扇形，半徑較小的花壇⊙Q與⊙P外切，且與OA、OB相切．
（1）求⊙P的半徑（用θ表示）；
（2）求⊙Q的半徑的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，記⊙P、⊙Q的半徑分別為r_P、r_Q．可得|OP|=80-r_P，由此求得r_P的解析式．
（2）由|PQ|=r_P+r_Q，求得r_Q=$\frac{80sinθ（1-sinθ）}{{（1+sinθ）}^{2}}$ （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r_Q=80（-1-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{3}{t}$），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最大值．

解答 解：（1）設(shè)⊙P切OA于M，連PM，⊙Q切OA于N，連QN，
記⊙P、⊙Q的半徑分別為r_P、r_Q．
∵⊙P與⊙O內(nèi)切，∴|OP|=80-r_P，
∴$\frac{{r}_{p}}{sinθ}$+r_P=80，∴r_P=$\frac{80sinθ}{1+sinθ}$  （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
（2）∵|PQ|=r_P+r_Q，∴|OP|-|OQ|=$\frac{{r}_{p}}{sinθ}$-$\frac{{r}_{Q}}{sinθ}$=r_P+r_Q，
∴r_Q=$\frac{80sinθ（1-sinθ）}{{（1+sinθ）}^{2}}$  （0＜θ＜$\frac{π}{2}$）．
令t=1+sinθ∈（1，2），∴r_Q=80•$\frac{（t-1）（2-t）}{{t}^{2}}$=80（-1-$\frac{2}{{t}^{2}}$+$\frac{3}{t}$），
令m=$\frac{1}{t}$∈（$\frac{1}{2}$，1），r_Q=80（-2m²+3m-1），∴m=$\frac{3}{4}$時(shí)，有最大值10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，求三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．