Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．
（i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為k₁，k₂，證明存在常數(shù)λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）通過(guò)2a=6、$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）（i）通過(guò)設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），將k₁、k₂用此兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，尋求這兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系即可；（ii）利用S_△OMN=$\frac{1}{2}$|OM|•|ON|及基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（I）由題可知：2a=6，即a=3，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴b=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∵k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直線AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
設(shè)直線AD的方程為y=kx+m（k、m≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（1+9k²）x²+18mkx+9m²-9=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{18mk}{1+9{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m}{1+9{k}^{2}}$，
由題可知：x₁≠-x₂，∴k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{9k}$=$\frac{{y}_{1}}{9{x}_{1}}$，
∴直線BD的方程為：y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{9{x}_{1}}$（x+x₁），
令y=0，得x=8x₁，即M（8x₁，0），
∴k₂=-$\frac{{y}_{1}}{7{x}_{1}}$，∴k₁=-$\frac{7}{9}$k₂，
即存在常數(shù)λ=-$\frac{7}{9}$使得k₁=λk₂；
（ii）直線BD的方程為：y+y₁=$\frac{{y}_{1}}{9{x}_{1}}$（x+x₁），
令x=0可得：y=-$\frac{8}{9}$y₁，即M（0，-$\frac{8}{9}$y₁），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$•8|x₁|•$\frac{8}{9}$|y₁|=$\frac{32}{9}$|x₁|•|y₁|，
∵$\frac{2}{3}$|x₁|•|y₁|≤$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$+${{y}_{1}}^{2}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{|{x}_{1}|}{3}$=|y₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)S_△OMN取得最大值$\frac{16}{3}$，
∴△OMN面積的最大值為$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng)：本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．