Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PC=2，E是PB上的點．
（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若E是PB的中點，求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC，AB=2，AD=CD=1，

∴ ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

（2）解：以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），設(shè)P（0，0，2），

則 ，取 ，則 ，

∴ 為面PAC的法向量．

設(shè) 為面EAC的法向量，則 ，

即 ，取x=2，y=﹣2，z=﹣2，

則 ．

【解析】（1）證明AC⊥PC，AC⊥BC，得到AC⊥平面PBC，然后證明平面EAC⊥平面PBC．（2）以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面PAC的法向量．面EAC的法向量，然后求解二面角的余弦函數(shù)值．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．