Question

10．（理科做）已知a，b，c分別是△ABC的角A，B，C的對邊，$\overrightarrow{m}$=（2a+c，b），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosC），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（1）若b=$\sqrt{21}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求a的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC外接圓半徑長及△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積，兩角和的正弦公式、誘導公式求得cosB的值，可得B的值．再根據(jù) S_△ABC=$\sqrt{3}$，以及余弦定理求得a的值．
（2）利用正弦定理、基本不等式求得ac的最大值，可得△ABC面積為S的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\overrightarrow{m}$=（2a+c，b），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosC），
且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2a+c）cosB+bcosC=0，
∴再利用正弦定理可得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB=-sin（B+C）=-sinA，∴cosB=-$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{2π}{3}$．
由正弦定理可得△ABC的外接圓的直徑2R=$\frac{sinB}$=$\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∴ac=4  ①．
∵b=$\sqrt{21}$，再利用余弦定理可得b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²+ac=21②，
由①②求得a=4，或a=1．
（2）由（1）可得B=$\frac{2π}{3}$，∵b=$\sqrt{21}$，設△ABC的外接圓的圓心為O，
由余弦定理可得b²=3=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²+ac≥3ac，
∴ac≤1，故△ABC面積為 S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB≤$\frac{1}{2}$•1•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故△ABC面積為S的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積，兩角和的正弦公式、誘導公式，正弦定理，基本不等式的應用，屬于中檔題．