Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)M，N分別為線段PB，PC 上的點(diǎn)，MN⊥PB．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求證：當(dāng)點(diǎn)M 不與點(diǎn)P，B 重合時(shí)，MN∥平面ABCD；
（Ⅲ）當(dāng)AB=3，PA=4時(shí)，求點(diǎn)A到直線MN距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)證明BC⊥平面PAB，即可證明平面PBC⊥平面PAB；
（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用線面平行的判定定理，證明MN∥平面ABCD；
（Ⅲ）AM的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到MN的距離，A到直線MN距離的最小值就是A到線段PB的距離．

解答 證明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．（1分）
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC．…．（2分）
又AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，…．（3分）
所以BC⊥平面PAB．…．（4分）
因?yàn)锽C?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB．…．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以BC⊥PB．…．（6分）
在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，
所以MN∥BC，…．（7分）
又BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，…．（9分）
所以MN∥平面ABCD．…．（10分）
解：（Ⅲ）因?yàn)镸N∥BC，
所以MN⊥平面PAB，…．（11分）
而AM?平面PAB，
所以MN⊥AM，…．（12分）
所以AM的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到MN的距離，…．（13分）
而點(diǎn)M在線段PB上
所以A到直線MN距離的最小值就是A到線段PB的距離，
在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，
所以A到直線MN的最小值為$\frac{12}{5}$．…．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、平面與平面垂直的判定，考查線面平行的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．