Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量

OA

=（1，0），

OB

=（-1，2）．若平面區(qū)域D由所有滿(mǎn)足

OC

=λ

OA

+μ

OB

（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1）的點(diǎn)C組成，則能夠把區(qū)域D的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分為相等的兩部分的曲線(xiàn)是（　　）

• A、y=

  1

  x

• B、y=x+cosx
• C、y=ln

  5-x

  5+x

• D、y=e^x+e^-x-1

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義,函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)C（x，y），由

OC

=λ

OA

+μ

OB

（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1），可得

x=λ-μ y=2μ

．由-2≤λ≤2，-1≤μ≤1，可得-2≤y≤2，x+

y

2

=λ∈[-2，2]．可得如圖所示的平面區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．所給的函數(shù)中：滿(mǎn)足能夠把區(qū)域D的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分為相等的兩部分，則函數(shù)必須是奇函數(shù)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．

解答： 解：設(shè)C（x，y），∵

OC

=λ

OA

+μ

OB

（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1），
∴（x，y）=λ（1，0）+μ（-1，2），
∴

x=λ-μ y=2μ

．
∵-2≤λ≤2，-1≤μ≤1，
∴-2≤y≤2，x+

y

2

=λ∈[-2，2]．
可得如圖所示的平面區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
所給的函數(shù)中：只有C中的函數(shù)y=ln

5-x

5+x

是奇函數(shù)且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
滿(mǎn)足能夠把區(qū)域D的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分為相等的兩部分．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算、線(xiàn)性規(guī)劃有關(guān)知識(shí)、奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．