Question

如圖1，已知四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直，∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A′-BCD，如圖2．
（1）若二面角A′-BD-C的余弦值為

3

3

，求證：A′C⊥平面BCD；
（2）當(dāng)三棱錐A′-BCD的體積最大時(shí)，求直線A′D與平面A′BC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，CO=BO=DO=

2

，AB=AD=2

2

，AO=

6

，將△ABD沿BD折起，A′O⊥BD，CO⊥BD，A′O=

6

，CO=

2

，∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角，設(shè)A′C=x，cos∠A′OC=

6+2-x2

2 6 × 2

=

3

3

，解得A′C=2，由勾股定理得BC⊥A′C，DC⊥A′C，由此能證明A′C⊥平面BCD．
（2）三棱錐A′-BCD的體積最大時(shí)，A′C⊥平面BCD，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A′D與平面A′BC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）證明：在圖（1）中，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直，
∠A=60°，∠C=90°，CD=CB=2，
∴CO=BO=DO=

2

，AB=AD=2

2

，AO=

6

，
∴將△ABD沿BD折起，A′O⊥BD，CO⊥BD，A′O=

6

，CO=

2

，
∴∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角，
設(shè)A′C=x，∵二面角A′-BD-C的余弦值為

3

3

，
∴cos∠A′OC=

6+2-x2

2 6 × 2

=

3

3

，解得x=2，即A′C=2，
∵BC=DC=2，A′B=A′D=2

2

，∴BC²+A′C²=A′B²，CD²+A′C²=A′D²，
∴BC⊥A′C，DC⊥A′C，
又BC∩CD=C，∴A′C⊥平面BCD．
（2）解：三棱錐A′-BCD的體積最大時(shí)，A′C⊥平面BCD，
以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CA′為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A′（0，0，2），D（0，2，0），

A′D

=（0，2，-2），
平面A′BC的法向量

n

=（0，1，0），
設(shè)直線A′D與平面A′BC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

A′D

，

n

＞|=|

2

8

|=

2

2

．
∴直線A′D與平面A′BC所成角的正弦值為

2

2

．

點(diǎn)評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、折疊問題等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．