Question

【題目】如圖，點(diǎn)T為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接BA延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使得，點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）若點(diǎn)A，B分別位于x軸與y軸的正半軸上，直線AB與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，試問(wèn)在曲線C上是否存在點(diǎn)Q，使得四邊形OMQN為平行四邊形，若存在，求出直線l方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）這樣的直線不存在，理由見解析.

【解析】

（1）設(shè),則,由題意知,所以為中點(diǎn),利用中點(diǎn)公式求得,再利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程即可；

（2）易知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,由可得,聯(lián)立直線與曲線的方程可得,由韋達(dá)定理可知與的關(guān)系,利用四邊形OMQN為平行四邊形,則對(duì)角線相互平分可得,代入曲線的方程,進(jìn)而求解即可

（1）設(shè),則,

由題意知,所以為中點(diǎn),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,即,

又點(diǎn)在圓上,

故滿足,則,

所以曲線C為

（2）由題意知直線的斜率存在且不為零,

設(shè)直線的方程為,則,,

因?yàn)?/span>,所以,即①

聯(lián)立方程,消去得:,

設(shè),,

則,

因?yàn)?/span>為平行四邊形,所以為,即,

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,故,整理得②

將①代入②,得,該方程無(wú)解,

故這樣的直線不存在.