Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₅=9，a₇=13，等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2^n-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，解方程組可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可得到所求和．

解答 解（I）由題知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{5}={a}_{1}+4d=9}\\{{a}_{7}={a}_{1}+6d=13}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N*，．
（II）由（I）知，a_n+b_n=（2n-1）+2^n-1，
由于{a_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵${b_n}={2^{n-1}}，n∈{N^*}$．
∴{b_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2ⁿ-1

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．