Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D，E分別是AC，AB的中點，現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A′-DE-B，連接A′B，A′C，F(xiàn)是A′B的中點．
（1）求證：EF∥平面A′CD；
（2）求證：EF⊥BC．

Answer 1

分析 （1）取A′C的中點G，連接DG，F(xiàn)G，證明四邊形DEFG是平行四邊形，可得EF∥DG，即可證明EF∥平面A′CD；
（2）證明BC⊥平面A′CD，DG?平面A′CD，可得BC⊥DG，利用DG∥EF，即可證明EF⊥BC．

解答 證明：（1）如圖，取A′C的中點G，連接DG，F(xiàn)G，
∵F是A′B的中點，
∴FG∥BC，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}BC$，
∵D，E分別是AC，AB的中點，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}BC$，
∴FG∥DE，F(xiàn)G=DE，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∴EF∥DG，
∵EF?平面A′CD，DG?平面A′CD，
∴EF∥平面A′CD；
（2）∵將△ABC沿DE折成直二面角A′-DE-B，∠C=90°，
∴A′D⊥DE，CD⊥DE，
∵A′D∩CD=D，
∴DE⊥平面A′CD，
∵DE∥BC，
∴BC⊥平面A′CD，
∵DG?平面A′CD，
∴BC⊥DG，
∵DG∥EF，
∴EF⊥BC．

點評 本題考查線面平行、垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．