【題目】對(duì)于數(shù)列,定義
,
.
(1) 若,是否存在
,使得
?請(qǐng)說明理由;
(2) 若,
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3) 令,求證:“
為等差數(shù)列”的充要條件是“
的前4項(xiàng)為等差數(shù)列,且
為等差數(shù)列”.
【答案】(1)不存在(2)(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由題意知數(shù)列為遞增數(shù)列,計(jì)算出數(shù)列的和
與
可得結(jié)果;(2)根據(jù)
,可得
,故可得
,即數(shù)列
,
均為公比為6的等比數(shù)列,可得其通項(xiàng)公式;(3)將題意轉(zhuǎn)化為
,先證必要性:設(shè)
,其中
為常數(shù),可得
,得結(jié)果,再證充分性:利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)果.
試題解析:(1)由,可知數(shù)列
為遞增數(shù)列, 計(jì)算得
,
,所以不存在
,使得
;
(2)由,可以得到當(dāng)
時(shí),
,
又因?yàn)?/span>,所以
, 進(jìn)而得到
, 兩式相除得
,所以數(shù)列
,
均為公比為6的等比數(shù)列,
由,得
,所以
;
(3)證明:由題意,
當(dāng)時(shí),
,
因此,對(duì)任意,都有
.
必要性():若
為等差數(shù)列,不妨設(shè)
,其中
為常數(shù),
顯然,
由于=
,
所以對(duì)于,
為常數(shù),
故為等差數(shù)列;
充分性():由于
的前4項(xiàng)為等差數(shù)列,不妨設(shè)公差為
當(dāng)時(shí),有
成立
假設(shè)時(shí)
為等差數(shù)列,
即
當(dāng)時(shí),由
為等差數(shù)列,得
,
即: ,
所以
,
因此,
綜上所述:數(shù)列為等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體的棱AD的中點(diǎn),P是平面內(nèi)一點(diǎn),若面
分別與面ABCD和面
所成的銳二面角相等,則
長度的最小值是( )
A. B.
C.
D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面積為3,體積為 ,E為側(cè)棱PC的中點(diǎn),則PA與BE所成的角為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解小學(xué)生的體能情況,抽取了某小學(xué)同年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示),已知圖中從左到右前三個(gè)小組的頻率分別時(shí)0.1,0.3,0.4,第一小組的頻數(shù)為5.
(1)求第四小組的頻率?
(2)問參加這次測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是多少?
(3)問在這次測(cè)試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第幾小組內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,
底面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面
;
(2)若二面角的余弦值為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,
,且
,f(x)=
﹣2λ|
|(λ為常數(shù)),求:
(1)
及|
|;
(2)若f(x)的最小值是 ,求實(shí)數(shù)λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱柱中,側(cè)面
為矩形,
,
,
是
的中點(diǎn),
與
交于點(diǎn)
,且
平面
.
(Ⅰ)證明:平面平面
;
(Ⅱ)若,
的重心為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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