【題目】在三棱柱中,側(cè)面
為矩形,
,
,
是
的中點(diǎn),
與
交于點(diǎn)
,且
平面
.
(Ⅰ)證明:平面平面
;
(Ⅱ)若,
的重心為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ) 見解析; (Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(1)利用題意首先證明: 平面
,然后利用面面垂直的判斷定理即可證明平面
平面
(2)利用題中結(jié)合體的結(jié)構(gòu)特征,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以
所在直線為
軸,建立空間直角坐標(biāo)系
.利用平面的法向量和直線的方向向量求得
.
試題解析:
(Ⅰ)
為矩形,
,
,
是
的中點(diǎn),
,
,
,
從而,
,
,
,
,
,從而
平面
,
平面
,
,
,
平面
,
平面
,
平面
平面
(Ⅱ)
如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),
分別以所在直線為
軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
在矩形中,由于
,所以
和
相似,
從而
又,
,
,
,
,
,
為
的重心,
設(shè)平面的法向量為
,
,
由可得
,
令,則
,
,所以
.
設(shè)直線與平面
所成角
,則
,
所以直線與平面
所成角的正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于數(shù)列,定義
,
.
(1) 若,是否存在
,使得
?請(qǐng)說明理由;
(2) 若,
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3) 令,求證:“
為等差數(shù)列”的充要條件是“
的前4項(xiàng)為等差數(shù)列,且
為等差數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的普通方程和直線
的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),直線
和曲線
交于
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:+
=1(a>b>0)的離心率為
,且過點(diǎn)(1,
).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)與圓O:x2+y2=相切的直線l交橢圓C與A,B兩點(diǎn),求△OAB面積的最大值,及取得最大值時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】宋元時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家朱世杰在其數(shù)學(xué)巨著《四元玉鑒》卷中“茭草形段”第一個(gè)問題“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.問底子(每層三角形邊茭草束數(shù),等價(jià)于層數(shù))幾何?”中探討了“垛枳術(shù)”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上1束,下一層3束,再下一層6束,…,成三角錐的堆垛,故也稱三角垛,如圖,表示第二層開始的每層茭草束數(shù)),則本問題中三角垛底層茭草總束數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】團(tuán)購已成為時(shí)下商家和顧客均非常青睞的一種省錢、高校的消費(fèi)方式,不少商家同時(shí)加入多家團(tuán)購網(wǎng).現(xiàn)恰有三個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站在市開展了團(tuán)購業(yè)務(wù),
市某調(diào)查公司為調(diào)查這三家團(tuán)購網(wǎng)站在本市的開展情況,從本市已加入了團(tuán)購網(wǎng)站的商家中隨機(jī)地抽取了50家進(jìn)行調(diào)查,他們加入這三家團(tuán)購網(wǎng)站的情況如下圖所示.
(1)從所調(diào)查的50家商家中任選兩家,求他們加入團(tuán)購網(wǎng)站的數(shù)量不相等的概率;
(2)從所調(diào)查的50家商家中任取兩家,用表示這兩家商家參加的團(tuán)購網(wǎng)站數(shù)量之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)將頻率視為概率,現(xiàn)從市隨機(jī)抽取3家已加入團(tuán)購網(wǎng)站的商家,記其中恰好加入了兩個(gè)團(tuán)購網(wǎng)站的商家數(shù)為
,試求事件“
”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐中,
平面
是
的中點(diǎn),
是
上的點(diǎn)且
為
邊
上的高.
(1)證明: 平面
;
(2)若,求三棱錐
的體積;
(3)在線段上是否存在這樣一點(diǎn)
,使得
平面
?若存在,說出
點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)(x﹣2,x﹣y)
(1)在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別記為x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;
(2)若利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)在[0,3]上先后取兩個(gè)數(shù)分別記為x,y,求P點(diǎn)在第一象限的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=3sin(2x+ )的圖象,只要把函數(shù)y=3sinx的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象所有的點(diǎn)向左平移
個(gè)單位長(zhǎng)度
B.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象所有的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖象所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍(縱坐標(biāo)不變)
D.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得圖象所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)
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