Question

15．已知直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）對(duì)極坐標(biāo)方程兩邊平方得出直角坐標(biāo)方程；
（2）把l的參數(shù)方程代入圓C的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系得出．

解答 解：（1）∵ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．∴ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2$\sqrt{5}$y，即x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}{x=3-t}\\{y=\sqrt{5}+t}\end{array}\right.$化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程得$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5得（3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+$\frac{1}{2}$t²=5，即t²-3$\sqrt{2}$t+4=0．
∴t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4．∴t₁＞0，t₂＞0．
∴|PA|+|PB|=t₁+t₂=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．