Question

7．已知函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$．
（1）判斷f（x）奇偶性和單調(diào)性，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)h（x）=$\frac{1}{x}$-f（x），求證：函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（-1，0）內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)t，且-1＜t＜-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域，利用定義判斷f（x）的奇偶性；再根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）在定義域（-1，1）的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）先判斷函數(shù)h（x）是定義域（-1，0）∪（0，1）上的奇函數(shù)，且在每個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，再利用根的存在性定理判斷函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（-1，0）上有且僅有唯一零點(diǎn)t，且滿足條件即可．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$，得$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1；
∴f（x）的定義域是（-1，1）；
任取x∈（-1，1），則f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$=-lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)；
又f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$=lg$\frac{2-（1-x）}{1-x}$=lg（$\frac{2}{1-x}$-1），
設(shè)g（x）=$\frac{2}{1-x}$-1，x∈（-1，1），
則g（x）是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f（x）在定義域上也是單調(diào)遞增函數(shù)，且單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）；
（2）證明：由（1）知h（x）=$\frac{1}{x}$-f（x）=$\frac{1}{x}$-lg$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{1}{x}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$，
可求得函數(shù)h（x）的定義域?yàn)镈=（-1，0）∪（0，1）；
對任意x∈D，有h（x）+h（-x）=$\frac{1}{x}$+lg$\frac{1-x}{1+x}$+$\frac{1}{-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$=0，
所以，函數(shù)y=h（x）是奇函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，$\frac{1}{x}$在（0，1）上單調(diào)遞減，$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$在（0，1）上單調(diào)遞減，
于是，lg$\frac{1-x}{1+x}$在（0，1）上單調(diào)遞減；
因此，函數(shù)y=h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知，
函數(shù)y=h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，且在（-1，0）上的圖象也是不間斷的光滑曲線；
又h（-$\frac{1}{2}$）=-2+lg3＜0，
h（-$\frac{99}{100}$）=-$\frac{100}{99}$＞2-$\frac{100}{99}$＞0，
所以，函數(shù)y=h（x）在區(qū)間（-1，0）上有且僅有唯一零點(diǎn)t，且-1＜t＜-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了根的存在性定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．