Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，M是PD的中點，AB=1，∠BAD=60°．
（1）求證：OM∥平面PAB；
（2）平面PBD⊥平面PAC；
（3）當三棱錐C-PBD的體積等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）利用OM是△PDB的中位線來證明OM∥平面PAB；
（2）利用BD⊥AC，PA⊥BD證明DB⊥面PAC來證明平面PBD⊥平面PAC；
（3）以四邊形ABCD為底面，列出體積等式，求出PA，在根據(jù)勾股定理來求PB長；

解答 解：（1）在△PDB中，O、M分別是BD、PD的中點，
∴OM是△PDB的中位線，∴OM∥PB．
OM?面PBD，PB?面PDB，
∴OM∥面PBD．
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥面ABCD，DB?面ABCD，
∴PA⊥BD；
∵AC?面PAC，PA?面PAC，AC∩PA=A
∴DB⊥面PAC，
∵BD?面PBD，
∴面PBD⊥面PAC．
（3）因為底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，所以S_ABCD=2$\sqrt{3}$．
∵四棱錐P-ABCD的高為PA，
∴$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×PA=\sqrt{3}$，得PA=$\frac{3}{2}$．
∵PA⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴PA⊥AB．
在Rt△PAB中，PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查了線面平行判定定理、面面垂直判定定理以及空間幾何體體積，屬中等題．