Question

7．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為2ρ（cosθ-sinθ）=3．
（Ⅰ）求C₁與C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）求C₁上任意一點(diǎn)P到C₂距離d的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1即可化為普通方程．利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可把曲線C₂的極坐標(biāo)方程為2ρ（cosθ-sinθ）=3，化為直角坐標(biāo)方程．聯(lián)立即可解得C₁與C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，注意x∈[0，2]．
（II）由x²+y²=4（x∈[0，2]，y∈[-2，2]），它的圖象是y軸右側(cè)的半圓及其y軸上的兩點(diǎn)（0，±2）．由圖象可知：點(diǎn)P到直線C₂的距離的最大值的點(diǎn)是（0，2）．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]為參數(shù)），
化為普通方程：x²+y²=4（x∈[0，2]，y∈[-2，2]）．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為2ρ（cosθ-sinθ）=3，化為直角坐標(biāo)方程：2x-2y-3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{2x-2y-3=0}\end{array}\right.$，x∈[0，2]，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{23}}{4}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{23}}{4}}\end{array}\right.$，∴C₁與C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為$（\frac{3+\sqrt{23}}{4}，\frac{-3+\sqrt{23}}{4}）$．
（II）∵x²+y²=4（x∈[0，2]，y∈[-2，2]），
∴它的圖象是y軸右側(cè)的半圓及其y軸上的兩點(diǎn)（0，±2）．
由圖象可知：點(diǎn)P到直線C₂的距離的最大值的點(diǎn)是（0，2）．
∴d_max=$\frac{|0-4-3|}{\sqrt{8}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．