Question

15．在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系．
（1）寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程；
（2）若直線l與曲線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關系可得直角坐標方程．把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，可得C的極坐標方程．
（II）P（1，0）．把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為：${t}^{2}-3\sqrt{2}t$+1=0，|PM|•|PN|=|t₁•t₂|．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x+y-1=0．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關系可得：x²+（y-2）²=4．
把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，可得C的極坐標方程為：ρ=4sinθ．
（II）P（1，0）．把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程為：${t}^{2}-3\sqrt{2}t$+1=0，
t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁•t₂=1，
∴|PM|•|PN|=|t₁•t₂|=1．

點評 本題考查了極坐標方程的應用、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．