Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，
（1）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|與|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值；
（2）求$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的模長公式計算|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|與|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值；
（2）根據(jù)平面向量的夾角公式計算$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角大�。�

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，
∴${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=1-2×1×2×cos60°+4=3，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$；
又${（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=4×1-4×1×2×cos60°+4=4，
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2；
（2）∵（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=-2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$=-2×1+3×1×2×cos60°-4=-3，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|×|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{-3}{\sqrt{3}×2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$與2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角θ=150°．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積與模長公式、夾角大小的計算問題，是基礎(chǔ)題．