Question

9．在數(shù)列{a_n}中，a_n+1-9a_n=9ⁿ⁺¹，a₁=9．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n（1+$\frac{2}{{9}^{n}}$）-1，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）對等式兩邊除以9ⁿ⁺¹，運用等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求通項；
（2）求得b_n=n•9ⁿ+（2n-1），運用數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）a_n+1-9a_n=9ⁿ⁺¹，a₁=9．
可得$\frac{{a}_{n+1}}{{9}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{9}^{n}}$=1，
即有數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{9}^{n}}$}為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
可得$\frac{{a}_{n}}{{9}^{n}}$=1+（n-1）=n，
即有a_n=n•9ⁿ；
（2）b_n=a_n（1+$\frac{2}{{9}^{n}}$）-1=n•9ⁿ•（1+$\frac{2}{{9}^{n}}$）-1
=n•9ⁿ+（2n-1），
可得前n項和S_n=（1•9+2•9²+…+n•9ⁿ）+（1+3+…+2n-1）．
設(shè)T_n=1•9+2•9²+…+n•9ⁿ，
9T_n=1•9²+2•9³+…+n•9ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-8T_n=9+9²+…+9ⁿ-n•9ⁿ⁺¹
=$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$-n•9ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=$\frac{{9}^{n+1}}{64}$（8n-1）+$\frac{9}{64}$，
則S_n=T_n+$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）
=$\frac{{9}^{n+1}}{64}$（8n-1）+$\frac{9}{64}$+n²．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運用構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．