Question

16．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0），在該約束條件下的最小值為2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值為（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 不存在

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可得a+b=1，再由基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{2x-y-3≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（2，1），
由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0），過A時，z有最小值為2a+2b=2，
則a+b=1，
又a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$）（a+b）=5+$\frac{a}+\frac{4a}$$≥5+2\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}=9$．
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時上式等號成立．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．