Question

已知曲線C₁：

x=-4+cosα y=3+sinα

，（α為參數(shù)），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

，（θ為參數(shù)）
（Ⅰ）化C₁，C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）若C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)為α=

π

2

，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃：

x=3+2t y=-2+t

，（t為參數(shù)）距離的最小值及此時Q點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)普通方程和參數(shù)方程的互化公式直接進行求解；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

2

時，得到點P的坐標(biāo)，然后，轉(zhuǎn)化成求解點M到直線的距離的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）據(jù)題，由曲線C₁：

x=-4+cosα y=3+sinα

，（α為參數(shù)），得
（x+4）²+（y-3）²=1，
它表示一個以（-4，3）為圓心，以1為半徑的圓，
由C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

，（θ為參數(shù)）得

x2

64

+

y2

9

=1，
它表示一個中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，長半軸長為8，短半軸長為3的橢圓，
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

2

時，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），
故M（-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ），
由直線C₃：

x=3+2t y=-2+t

，（t為參數(shù)），得
x-2y-7=0，它表示一條直線，M到該直線的距離為：
d=

1

5

|4cosθ-3sinθ-13|
=

1

5

|5cos（θ+Φ）-13|，（其中sinΦ=

3

5

，cosΦ=

4

5

），
當(dāng)cos（θ+Φ）=1時，d取最小值

8 5

5

，
從而，當(dāng)sinΦ=-

3

5

，cosΦ=

4

5

，時，d有最小值

8 5

5

，
此時，點Q（

32

5

，-

9

5

）．

點評：本題綜合考查了普通方程和參數(shù)方程的互化公式、橢圓的參數(shù)方程和直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，屬于中檔題．