Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱．若對任意的x，y，f（y²-8y）+f（x²-6x+21）＜0恒成立，則當2x-y-2＞0時，x²+y²的取值范圍是（　�。�

• A、（3，7）
• B、（

  13

  ，7）
• C、（13，49）
• D、（9，49）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,直線與圓

分析：由函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，結合圖象平移的知識可知函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，從而可知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把問題轉化為（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于圓的有關知識可求．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）
又∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y² ）恒成立
∴x²-6x+21＜8y-y²
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立
設M （x，y），則2x-y-2＞0時，M表示以（3，4）為圓心2為半徑的右半圓內(nèi)的任意一點，
如圖示：

則x²+y²表示在半圓內(nèi)任取一點與原點的距離的平方
結合圓的知識可知9＜x²+y²＜49
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)圖象的平移、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及圓的有關知識，解決問題的關鍵是把“數(shù)”的問題轉化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運算量，體現(xiàn)“數(shù)形結合：及”轉化”的思想在解題中的應用．